Contoh soal matematika kelas 8 semester 1 bab 4

Menguasai Bab Relasi dan Fungsi: Contoh Soal Matematika Kelas 8 Semester 1 Bab 4 Beserta Pembahasan Lengkap

Pendahuluan

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun sebenarnya ia adalah fondasi penting dalam memahami dunia di sekitar kita. Salah satu bab yang sangat krusial di kelas 8 semester 1 adalah "Relasi dan Fungsi". Bab ini memperkenalkan konsep hubungan antarhimpunan dan bagaimana hubungan tersebut dapat membentuk suatu aturan atau pola yang terdefinisi dengan baik. Pemahaman yang kuat tentang relasi dan fungsi tidak hanya penting untuk nilai di sekolah, tetapi juga menjadi dasar bagi materi matematika di jenjang yang lebih tinggi, seperti aljabar, kalkulus, bahkan dalam ilmu komputer dan statistika.

Artikel ini akan membahas secara mendalam konsep relasi dan fungsi, menyajikan berbagai contoh soal yang representatif untuk kelas 8, serta memberikan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Tujuannya adalah membantu siswa menguasai materi ini dengan lebih percaya diri dan efektif.

Bab 4: Relasi dan Fungsi – Konsep Dasar yang Wajib Dikuasai

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita segarkan kembali pemahaman tentang definisi dan representasi relasi serta fungsi.

1. Relasi (Hubungan)
Relasi adalah hubungan antara anggota satu himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Relasi dapat didefinisikan dengan berbagai cara, misalnya "lebih dari", "kurang dari", "setengah dari", "faktor dari", "menyukai", dan lain-lain.

• Cara Menyatakan Relasi:
  • Diagram Panah: Menggunakan dua bangun datar (biasanya oval atau persegi panjang) untuk mewakili himpunan, dan panah untuk menunjukkan hubungan antar anggota.
  • Himpunan Pasangan Berurutan: Menuliskan setiap pasangan anggota yang berelasi dalam bentuk (anggota himpunan pertama, anggota himpunan kedua).
  • Diagram Kartesius: Menggunakan sistem koordinat (sumbu X dan Y) di mana anggota himpunan pertama berada pada sumbu X dan anggota himpunan kedua pada sumbu Y. Titik-titik pada diagram menunjukkan pasangan yang berelasi.

2. Fungsi (Pemetaan)
Fungsi adalah jenis relasi yang sangat istimewa. Sebuah relasi disebut fungsi jika setiap anggota himpunan pertama (domain) memiliki tepat satu pasangan di himpunan kedua (kodomain). Ini adalah syarat mutlak yang membedakan fungsi dari relasi biasa.

• Istilah Penting dalam Fungsi:

  • Domain (Daerah Asal): Himpunan semua anggota yang menjadi input atau titik awal dalam fungsi.
  • Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan semua anggota yang menjadi kemungkinan output atau tujuan.
  • Range (Daerah Hasil): Himpunan semua anggota kodomain yang benar-benar menjadi output dari fungsi (yaitu, anggota kodomain yang memiliki pasangan di domain).

• Notasi Fungsi: Fungsi sering dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h. Contoh: f(x) = 2x + 1. Ini berarti fungsi f memetakan x ke 2x + 1. f(x) sering dibaca "f dari x" atau "f pada x", dan nilai f(x) adalah nilai y yang bersesuaian dengan nilai x tertentu.

Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Berikut adalah beberapa contoh soal yang mencakup berbagai aspek dari bab relasi dan fungsi, beserta pembahasan langkah demi langkah.

Soal 1: Mengidentifikasi Relasi dan Fungsi dari Berbagai Representasi

Diberikan himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = a, b, c. Tentukan apakah setiap representasi berikut adalah relasi atau fungsi.

a. Relasi R1: (1, a), (2, b), (3, c)
b. Relasi R2: (1, a), (1, b), (2, c)
c. Relasi R3: (1, a), (2, a), (3, a)
d. Relasi R4: Diagram panah dari A ke B, di mana 1 berpasangan dengan a, dan 2 berpasangan dengan b.

Pembahasan:

Untuk menentukan apakah suatu relasi adalah fungsi, kita harus memeriksa apakah setiap anggota domain (himpunan A) memiliki tepat satu pasangan di kodomain (himpunan B).

a. R1: (1, a), (2, b), (3, c)

• Anggota domain: 1 berpasangan dengan a (tepat satu).
• Anggota domain: 2 berpasangan dengan b (tepat satu).
• Anggota domain: 3 berpasangan dengan c (tepat satu).
• Kesimpulan: R1 adalah fungsi, karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan.

b. R2: (1, a), (1, b), (2, c)

• Anggota domain: 1 berpasangan dengan a DAN b. Ini berarti anggota 1 memiliki lebih dari satu pasangan.
• Kesimpulan: R2 bukan fungsi, melainkan hanya relasi, karena anggota 1 memiliki dua pasangan.

c. R3: (1, a), (2, a), (3, a)

• Anggota domain: 1 berpasangan dengan a (tepat satu).
• Anggota domain: 2 berpasangan dengan a (tepat satu).
• Anggota domain: 3 berpasangan dengan a (tepat satu).
• Penting: Meskipun semua anggota domain berpasangan dengan anggota kodomain yang sama (a), ini tetap memenuhi syarat "tepat satu pasangan".
• Kesimpulan: R3 adalah fungsi.

d. R4: Diagram panah dari A ke B, di mana 1 berpasangan dengan a, dan 2 berpasangan dengan b.

• Anggota domain: 1 berpasangan dengan a (tepat satu).
• Anggota domain: 2 berpasangan dengan b (tepat satu).
• Anggota domain: 3 tidak memiliki pasangan.
• Kesimpulan: R4 bukan fungsi, melainkan hanya relasi, karena ada anggota domain (3) yang tidak memiliki pasangan.

Soal 2: Menentukan Domain, Kodomain, dan Range

Diberikan fungsi f yang memetakan himpunan P = 1, 2, 3, 4 ke himpunan Q = 2, 3, 4, 5, 6, 7 dengan aturan "ditambah 1".

a. Nyatakan fungsi tersebut dalam himpunan pasangan berurutan.
b. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut.

Pembahasan:

Aturan "ditambah 1" berarti jika x adalah anggota P, maka pasangannya di Q adalah x + 1.

a. Himpunan pasangan berurutan:

• Untuk 1 di P, pasangannya 1 + 1 = 2. Pasangan: (1, 2)
• Untuk 2 di P, pasangannya 2 + 1 = 3. Pasangan: (2, 3)
• Untuk 3 di P, pasangannya 3 + 1 = 4. Pasangan: (3, 4)
• Untuk 4 di P, pasangannya 4 + 1 = 5. Pasangan: (4, 5)
• Jadi, fungsi f adalah: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)

b. Domain, Kodomain, dan Range:

• Domain (Daerah Asal): Adalah himpunan semua anggota himpunan P.
  Domain = 1, 2, 3, 4
• Kodomain (Daerah Kawan): Adalah himpunan semua anggota himpunan Q.
  Kodomain = 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Range (Daerah Hasil): Adalah himpunan semua anggota kodomain yang memiliki pasangan di domain.
  Dari pasangan berurutan, anggota kodomain yang menjadi hasil adalah 2, 3, 4, 5.
  Range = 2, 3, 4, 5

Soal 3: Menghitung Nilai Fungsi

Diketahui fungsi f(x) = 5x – 7. Hitunglah:
a. f(3)
b. f(-2)
c. Nilai x jika f(x) = 13

Pembahasan:

a. f(3): Ganti setiap ‘x’ dalam rumus fungsi dengan angka 3.
f(3) = 5(3) – 7
f(3) = 15 – 7
f(3) = 8

b. f(-2): Ganti setiap ‘x’ dalam rumus fungsi dengan angka -2.
f(-2) = 5(-2) – 7
f(-2) = -10 – 7
f(-2) = -17

c. Nilai x jika f(x) = 13: Kita tahu f(x) = 5x – 7, dan f(x) = 13. Jadi, kita bisa menyamakan kedua ekspresi.
5x – 7 = 13
Tambahkan 7 ke kedua sisi:
5x = 13 + 7
5x = 20
Bagi kedua sisi dengan 5:
x = 20 / 5
x = 4

Soal 4: Menentukan Rumus Fungsi dari Dua Titik

Sebuah fungsi linear f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b. Jika diketahui f(2) = 5 dan f(-1) = -4, tentukan:
a. Nilai a dan b.
b. Rumus fungsi tersebut.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan informasi yang diberikan untuk membentuk sistem persamaan linear.

• f(2) = 5 berarti jika x = 2, maka f(x) = 5. Substitusikan ke rumus f(x) = ax + b:
  a(2) + b = 5
  2a + b = 5 (Persamaan 1)

• f(-1) = -4 berarti jika x = -1, maka f(x) = -4. Substitusikan ke rumus f(x) = ax + b:
  a(-1) + b = -4
  -a + b = -4 (Persamaan 2)

a. Menentukan nilai a dan b:
Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan eliminasi dengan mengurangi Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(2a + b) – (-a + b) = 5 – (-4)
2a + b + a – b = 5 + 4
3a = 9
a = 9 / 3
a = 3

Sekarang substitusikan nilai a = 3 ke salah satu persamaan (misalnya Persamaan 1):
2(3) + b = 5
6 + b = 5
b = 5 – 6
b = -1

b. Rumus fungsi:
Setelah menemukan a = 3 dan b = -1, kita bisa menuliskan rumus fungsinya:
f(x) = ax + b
f(x) = 3x – 1

Soal 5: Aplikasi Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari

Sebuah perusahaan taksi menerapkan tarif buka pintu sebesar Rp 10.000,00 dan tarif per kilometer sebesar Rp 3.500,00.
a. Buatlah rumus fungsi yang menyatakan biaya taksi (B) dalam kilometer (k).
b. Berapa biaya yang harus dibayar jika seseorang menempuh jarak 15 km?

Pembahasan:

a. Rumus fungsi biaya taksi:
Biaya total adalah tarif buka pintu ditambah (tarif per kilometer dikali jumlah kilometer).
Misalkan biaya total = B(k)
B(k) = Tarif buka pintu + (Tarif per km × jumlah km)
B(k) = 10.000 + 3.500k

b. Biaya untuk jarak 15 km:
Gantikan ‘k’ dengan 15 dalam rumus fungsi yang sudah kita buat.
B(15) = 10.000 + 3.500(15)
B(15) = 10.000 + 52.500
B(15) = 62.500
Jadi, biaya yang harus dibayar untuk menempuh jarak 15 km adalah Rp 62.500,00.

Soal 6: Menggambar Grafik Fungsi Linear

Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x – 4 pada bidang Kartesius.

Pembahasan:

Untuk menggambar grafik fungsi linear, kita hanya memerlukan minimal dua titik. Cara termudah adalah mencari titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.

• Titik potong dengan sumbu Y (saat x = 0):
  f(0) = 2(0) – 4
  f(0) = -4
  Jadi, titik potong sumbu Y adalah (0, -4).

• Titik potong dengan sumbu X (saat f(x) = 0 atau y = 0):
  0 = 2x – 4
  4 = 2x
  x = 4 / 2
  x = 2
  Jadi, titik potong sumbu X adalah (2, 0).

• Menggambar Grafik:

  1. Gambarkan sistem koordinat Kartesius (sumbu X horizontal, sumbu Y vertikal).
  2. Plot titik (0, -4) pada sumbu Y.
  3. Plot titik (2, 0) pada sumbu X.
  4. Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis inilah yang merupakan grafik fungsi f(x) = 2x – 4.

(Anda akan membutuhkan gambar untuk soal ini, tetapi dalam teks, deskripsi di atas sudah cukup jelas)

Tips Belajar Efektif untuk Bab Relasi dan Fungsi:

1. Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Pastikan Anda benar-benar mengerti perbedaan antara relasi dan fungsi, serta arti domain, kodomain, dan range.
2. Latihan Beragam Soal: Kerjakan soal dari berbagai sumber (buku paket, LKS, internet) dengan tipe yang berbeda-beda. Ini akan melatih kemampuan Anda dalam mengaplikasikan konsep.
3. Gunakan Visualisasi: Untuk relasi dan fungsi, diagram panah dan diagram Kartesius sangat membantu. Cobalah menggambar sendiri untuk memahami hubungan antar anggota himpunan.
4. Perhatikan Detail: Kesalahan kecil dalam perhitungan aljabar (misalnya tanda negatif) dapat mengubah seluruh jawaban. Latih ketelitian Anda.
5. Jangan Ragu Bertanya: Jika ada konsep atau soal yang tidak Anda pahami, segera tanyakan kepada guru, teman, atau cari referensi tambahan.
6. Buat Ringkasan: Tuliskan poin-poin penting, rumus, dan contoh kecil di buku catatan Anda. Ini akan membantu saat mengulang pelajaran.

Kesimpulan

Bab Relasi dan Fungsi adalah salah satu fondasi penting dalam matematika sekolah menengah. Dengan memahami konsep dasar dan melatih diri dengan berbagai jenis soal, siswa dapat menguasai bab ini dengan baik. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan dalam matematika adalah pemahaman yang mendalam, latihan yang konsisten, dan keberanian untuk mencoba serta tidak takut salah. Semoga artikel ini memberikan panduan yang jelas dan bermanfaat bagi para siswa kelas 8 dalam menaklukkan bab Relasi dan Fungsi! Selamat belajar!