Contoh soal matematika kpk dan fpb kelas 4 sd

Menguasai KPK dan FPB: Panduan Lengkap dan Contoh Soal Matematika Asyik untuk Kelas 4 SD!

Halo Adik-adik hebat calon ahli matematika! Bagaimana kabarmu hari ini? Siapkah kita untuk berpetualang di dunia angka yang penuh kejutan? Hari ini, kita akan belajar dua konsep penting dalam matematika yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari, yaitu KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar).

Mungkin nama-namanya terdengar sedikit rumit, tapi jangan khawatir! Kita akan belajar bersama dengan cara yang menyenangkan, lengkap dengan contoh-contoh soal yang mudah dipahami. Anggap saja ini seperti bermain teka-teki, dan kita akan menemukan jawabannya bersama-sama. Yuk, kita mulai!

Pendahuluan: Mengapa KPK dan FPB Itu Penting?

Pernahkah kamu berpikir kapan kamu dan temanmu akan bertemu lagi di perpustakaan jika kamu pergi setiap 3 hari sekali dan temanmu setiap 4 hari sekali? Atau, bagaimana cara membagi sejumlah permen dan cokelat kepada teman-temanmu agar setiap orang mendapatkan bagian yang sama banyak dan tidak ada sisa? Nah, untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti ini, kita membutuhkan KPK dan FPB!

KPK dan FPB adalah alat bantu yang sangat berguna untuk menyelesaikan masalah pembagian, jadwal, atau pengelompokan dalam kehidupan kita. Jadi, mari kita pahami apa itu KPK dan FPB, dan bagaimana cara menyelesaikannya.

Bagian 1: Memahami Konsep Dasar

Sebelum kita melangkah lebih jauh ke KPK dan FPB, ada baiknya kita mengingat kembali apa itu kelipatan dan faktor. Ini adalah dasar yang penting!

A. Apa Itu Kelipatan?

Bayangkan kamu sedang melompat-lompat. Jika kamu mulai dari angka 0 dan melompat 2 langkah setiap kali, kamu akan mendarat di 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya. Nah, angka-angka 2, 4, 6, 8, 10, … inilah yang disebut kelipatan dari 2.

Definisi: Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan asli (1, 2, 3, 4, …).

Contoh:

• Kelipatan dari 3:
  • 3 x 1 = 3
  • 3 x 2 = 6
  • 3 x 3 = 9
  • 3 x 4 = 12
  • Jadi, kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … dan seterusnya.
• Kelipatan dari 5:
  • 5 x 1 = 5
  • 5 x 2 = 10
  • 5 x 3 = 15
  • Jadi, kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, … dan seterusnya.

B. Apa Itu Faktor?

Sekarang, bayangkan kamu punya 12 kelereng. Kamu ingin membaginya menjadi beberapa kelompok yang jumlahnya sama banyak. Berapa banyak kelereng di setiap kelompok yang bisa kamu buat tanpa sisa?

• Kamu bisa membuat 1 kelompok berisi 12 kelereng (12 : 1 = 12)
• Kamu bisa membuat 2 kelompok berisi 6 kelereng (12 : 2 = 6)
• Kamu bisa membuat 3 kelompok berisi 4 kelereng (12 : 3 = 4)
• Kamu bisa membuat 4 kelompok berisi 3 kelereng (12 : 4 = 3)
• Kamu bisa membuat 6 kelompok berisi 2 kelereng (12 : 6 = 2)
• Kamu bisa membuat 12 kelompok berisi 1 kelereng (12 : 12 = 1)

Angka-angka 1, 2, 3, 4, 6, 12 inilah yang disebut faktor dari 12.

Definisi: Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut tanpa sisa.

Contoh:

• Faktor dari 10:
  • 10 : 1 = 10
  • 10 : 2 = 5
  • 10 : 5 = 2
  • 10 : 10 = 1
  • Jadi, faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, 10.
• Faktor dari 18:
  • 18 : 1 = 18
  • 18 : 2 = 9
  • 18 : 3 = 6
  • 18 : 6 = 3
  • 18 : 9 = 2
  • 18 : 18 = 1
  • Jadi, faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Bagian 2: Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Sekarang kita masuk ke bagian seru, KPK!

A. Apa Itu KPK?

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil. Kelipatan persekutuan artinya kelipatan yang sama dari dua atau lebih bilangan. Nah, kalau "terkecil" berarti kita mencari kelipatan yang paling kecil di antara kelipatan-kelipatan yang sama itu.

Definisi: KPK dari dua atau lebih bilangan adalah kelipatan terkecil yang sama dari bilangan-bilangan tersebut (selain nol).

Contoh sederhana:

• Kelipatan 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
• Kelipatan 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …

Kelipatan yang sama (persekutuan) dari 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, …
Kelipatan persekutuan yang terkecil dari 2 dan 3 adalah 6. Jadi, KPK dari 2 dan 3 adalah 6.

B. Cara Menentukan KPK

Ada beberapa cara untuk menentukan KPK, mari kita pelajari dua cara yang paling umum di kelas 4 SD:

1. Metode Daftar Kelipatan (Mencari Kelipatan Bersama)

Cara ini adalah cara paling dasar. Kita hanya perlu mendaftar kelipatan dari setiap bilangan hingga kita menemukan kelipatan yang sama untuk pertama kalinya.

Contoh Soal 1: Tentukan KPK dari 4 dan 6.

• Langkah 1: Daftar kelipatan dari 4.
  • Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• Langkah 2: Daftar kelipatan dari 6.
  • Kelipatan 6: 6, 12, 18, 24, 30, …
• Langkah 3: Cari kelipatan yang sama dari kedua daftar.
  • Kelipatan yang sama (persekutuan) adalah 12, 24, …
• Langkah 4: Pilih kelipatan persekutuan yang paling kecil.
  • Kelipatan persekutuan terkecil adalah 12.

Jadi, KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

Contoh Soal 2: Tentukan KPK dari 3, 5, dan 6.

• Langkah 1: Daftar kelipatan dari 3.
  • Kelipatan 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …
• Langkah 2: Daftar kelipatan dari 5.
  • Kelipatan 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
• Langkah 3: Daftar kelipatan dari 6.
  • Kelipatan 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
• Langkah 4: Cari kelipatan yang sama dari ketiga daftar.
  • Kelipatan yang sama (persekutuan) yang pertama kali muncul adalah 30.

Jadi, KPK dari 3, 5, dan 6 adalah 30.

Kelemahan metode ini: Jika angkanya besar, kita harus menulis banyak sekali kelipatan. Untuk itu, ada cara lain yang lebih efisien!

2. Metode Pohon Faktor (Faktorisasi Prima)

Metode ini lebih canggih dan sangat berguna untuk angka-angka yang lebih besar. Kita akan menggunakan bilangan prima. Apa itu bilangan prima? Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. Contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, … (ingat, 1 bukan bilangan prima, dan 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap).

Langkah-langkah menentukan KPK dengan pohon faktor:

1. Buat pohon faktor untuk setiap bilangan untuk menemukan faktorisasi primanya.
2. Tuliskan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
3. Untuk mencari KPK, ambil semua faktor prima yang muncul (baik yang sama maupun yang berbeda). Jika ada faktor prima yang sama, ambil yang pangkatnya paling besar. Kemudian kalikan semua faktor prima tersebut.

Contoh Soal 3: Tentukan KPK dari 8 dan 12.

• Langkah 1: Buat pohon faktor untuk 8 dan 12.

  • Pohon Faktor 8:

      8
     / 
    2   4
       / 
      2   2

    Faktorisasi prima dari 8 adalah 2 x 2 x 2 = 2³

  • Pohon Faktor 12:

      12
     /  
    2    6
        / 
       2   3

    Faktorisasi prima dari 12 adalah 2 x 2 x 3 = 2² x 3

• Langkah 2: Tulis faktorisasi prima:

  • 8 = 2³
  • 12 = 2² x 3

• Langkah 3: Ambil semua faktor prima yang muncul. Jika ada yang sama, ambil pangkat terbesar.

  • Faktor prima yang muncul adalah 2 dan 3.
  • Untuk faktor 2: ada 2³ (dari 8) dan 2² (dari 12). Kita ambil yang pangkatnya paling besar, yaitu 2³.
  • Untuk faktor 3: hanya ada 3¹ (dari 12). Kita ambil 3¹.
  • Kalikan faktor-faktor prima yang terpilih: 2³ x 3¹ = (2 x 2 x 2) x 3 = 8 x 3 = 24.

Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 24.

Contoh Soal 4: Tentukan KPK dari 10, 15, dan 20.

• Langkah 1: Buat pohon faktor.

  • 10: 2 x 5
  • 15: 3 x 5
  • 20: 2 x 2 x 5 = 2² x 5

• Langkah 2: Tulis faktorisasi prima:

  • 10 = 2 x 5
  • 15 = 3 x 5
  • 20 = 2² x 5

• Langkah 3: Ambil semua faktor prima yang muncul, ambil pangkat terbesar jika ada yang sama.

  • Faktor prima yang muncul adalah 2, 3, dan 5.
  • Untuk faktor 2: ada 2¹ (dari 10) dan 2² (dari 20). Ambil 2².
  • Untuk faktor 3: hanya ada 3¹ (dari 15). Ambil 3¹.
  • Untuk faktor 5: ada 5¹ (dari 10, 15, 20). Ambil 5¹.
  • Kalikan: 2² x 3¹ x 5¹ = (2 x 2) x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60.

Jadi, KPK dari 10, 15, dan 20 adalah 60.

C. Soal Cerita KPK

KPK sering muncul dalam soal cerita yang menanyakan "kapan sesuatu akan terjadi bersama-sama lagi", "kapan mereka akan bertemu lagi", atau "jadwal berikutnya yang sama".

Contoh Soal 5:
Pak Budi pergi ke pasar setiap 4 hari sekali, dan Pak Anto pergi ke pasar setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka berdua bertemu di pasar, berapa hari lagi mereka akan bertemu di pasar bersama-sama untuk yang kedua kalinya?

• Analisis: Soal ini menanyakan kapan mereka akan bertemu bersama-sama lagi, ini adalah ciri khas soal KPK.
• Penyelesaian: Kita perlu mencari KPK dari 4 dan 6.
  • Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, …
  • Kelipatan 6: 6, 12, 18, …
  • KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

Jadi, Pak Budi dan Pak Anto akan bertemu lagi di pasar 12 hari lagi.

Contoh Soal 6:
Lampu A berkedip setiap 5 detik, dan lampu B berkedip setiap 8 detik. Jika kedua lampu berkedip bersamaan pada pukul 09.00, pada pukul berapa kedua lampu akan berkedip bersamaan lagi?

• Analisis: Sama seperti sebelumnya, menanyakan kapan terjadi bersamaan lagi. Ini adalah soal KPK.
• Penyelesaian: Kita perlu mencari KPK dari 5 dan 8.
  • Kelipatan 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …
  • Kelipatan 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
  • KPK dari 5 dan 8 adalah 40.
  • Artinya, kedua lampu akan berkedip bersamaan setiap 40 detik.
  • Jika mereka berkedip bersamaan pada pukul 09.00, maka mereka akan berkedip bersamaan lagi 40 detik kemudian.

Jadi, kedua lampu akan berkedip bersamaan lagi pada pukul 09.00 lewat 40 detik.

Bagian 3: Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Setelah KPK, mari kita kenalan dengan FPB!

A. Apa Itu FPB?

FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar. Faktor persekutuan artinya faktor yang sama dari dua atau lebih bilangan. Nah, kalau "terbesar" berarti kita mencari faktor yang paling besar di antara faktor-faktor yang sama itu.

Definisi: FPB dari dua atau lebih bilangan adalah faktor terbesar yang sama dari bilangan-bilangan tersebut.

Contoh sederhana:

• Faktor dari 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Faktor dari 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Faktor yang sama (persekutuan) dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 6.
Faktor persekutuan yang terbesar dari 12 dan 18 adalah 6. Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6.

B. Cara Menentukan FPB

Sama seperti KPK, ada beberapa cara untuk menentukan FPB:

1. Metode Daftar Faktor (Mencari Faktor Bersama)

Ini adalah cara paling dasar. Kita hanya perlu mendaftar semua faktor dari setiap bilangan, lalu mencari faktor yang sama, dan memilih yang paling besar.

Contoh Soal 7: Tentukan FPB dari 12 dan 18.

• Langkah 1: Daftar faktor dari 12.
  • Faktor 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Langkah 2: Daftar faktor dari 18.
  • Faktor 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Langkah 3: Cari faktor yang sama dari kedua daftar.
  • Faktor yang sama (persekutuan) adalah 1, 2, 3, 6.
• Langkah 4: Pilih faktor persekutuan yang paling besar.
  • Faktor persekutuan terbesar adalah 6.

Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6.

Contoh Soal 8: Tentukan FPB dari 24, 36, dan 48.

• Langkah 1: Daftar faktor dari 24.
  • Faktor 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Langkah 2: Daftar faktor dari 36.
  • Faktor 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• Langkah 3: Daftar faktor dari 48.
  • Faktor 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
• Langkah 4: Cari faktor yang sama dari ketiga daftar.
  • Faktor persekutuan adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Langkah 5: Pilih faktor persekutuan yang paling besar.
  • Faktor persekutuan terbesar adalah 12.

Jadi, FPB dari 24, 36, dan 48 adalah 12.

Kelemahan metode ini: Sama seperti KPK, jika angkanya besar, kita harus menulis banyak sekali faktor. Mari gunakan metode pohon faktor!

2. Metode Pohon Faktor (Faktorisasi Prima)

Metode ini juga sangat efisien untuk mencari FPB.

Langkah-langkah menentukan FPB dengan pohon faktor:

1. Buat pohon faktor untuk setiap bilangan untuk menemukan faktorisasi primanya.
2. Tuliskan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
3. Untuk mencari FPB, ambil hanya faktor prima yang sama (muncul di semua bilangan). Jika ada faktor prima yang sama, ambil yang pangkatnya paling kecil. Kemudian kalikan semua faktor prima tersebut.

Contoh Soal 9: Tentukan FPB dari 20 dan 30.

• Langkah 1: Buat pohon faktor untuk 20 dan 30.

  • Pohon Faktor 20:

      20
     /  
    2    10
        /  
       2    5

    Faktorisasi prima dari 20 adalah 2 x 2 x 5 = 2² x 5

  • Pohon Faktor 30:

      30
     /  
    2    15
        /  
       3    5

    Faktorisasi prima dari 30 adalah 2 x 3 x 5

• Langkah 2: Tulis faktorisasi prima:

  • 20 = 2² x 5
  • 30 = 2 x 3 x 5

• Langkah 3: Ambil hanya faktor prima yang sama, ambil pangkat terkecil.

  • Faktor prima yang sama adalah 2 dan 5. (Angka 3 hanya ada di 30, jadi tidak diambil).
  • Untuk faktor 2: ada 2² (dari 20) dan 2¹ (dari 30). Kita ambil yang pangkatnya paling kecil, yaitu 2¹.
  • Untuk faktor 5: ada 5¹ (dari 20) dan 5¹ (dari 30). Kita ambil 5¹.
  • Kalikan faktor-faktor prima yang terpilih: 2¹ x 5¹ = 2 x 5 = 10.

Jadi, FPB dari 20 dan 30 adalah 10.

Contoh Soal 10: Tentukan FPB dari 42, 63, dan 84.

• Langkah 1: Buat pohon faktor.

  • 42: 2 x 3 x 7
  • 63: 3 x 3 x 7 = 3² x 7
  • 84: 2 x 2 x 3 x 7 = 2² x 3 x 7

• Langkah 2: Tulis faktorisasi prima:

  • 42 = 2 x 3 x 7
  • 63 = 3² x 7
  • 84 = 2² x 3 x 7

• Langkah 3: Ambil hanya faktor prima yang sama (muncul di semua bilangan), ambil pangkat terkecil.

  • Faktor prima yang sama adalah 3 dan 7. (Angka 2 tidak ada di 63, jadi tidak diambil).
  • Untuk faktor 3: ada 3¹ (dari 42), 3² (dari 63), dan 3¹ (dari 84). Ambil yang pangkatnya paling kecil, yaitu 3¹.
  • Untuk faktor 7: ada 7¹ (dari 42, 63, 84). Ambil 7¹.
  • Kalikan: 3¹ x 7¹ = 3 x 7 = 21.

Jadi, FPB dari 42, 63, dan 84 adalah 21.

C. Soal Cerita FPB

FPB sering muncul dalam soal cerita yang menanyakan "berapa banyak kelompok yang bisa dibuat dengan jumlah sama", "jumlah maksimal", "ukuran terbesar", atau "pembagian rata".

Contoh Soal 11:
Ibu mempunyai 24 buah permen dan 36 buah cokelat. Ibu ingin membagikan permen dan cokelat tersebut kepada teman-teman anaknya sama banyak. Berapa paling banyak teman yang bisa mendapatkan permen dan cokelat dari Ibu?

• Analisis: Soal ini menanyakan "berapa paling banyak teman" yang bisa mendapatkan bagian sama banyak. Ini adalah ciri khas soal FPB.
• Penyelesaian: Kita perlu mencari FPB dari 24 dan 36.
  • Faktorisasi prima 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
  • Faktorisasi prima 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
  • Faktor prima yang sama adalah 2 dan 3.
  • Ambil pangkat terkecil: 2² (dari 2³ dan 2²) dan 3¹ (dari 3¹ dan 3²).
  • FPB = 2² x 3¹ = (2 x 2) x 3 = 4 x 3 = 12.

Jadi, paling banyak ada 12 teman yang bisa mendapatkan permen dan cokelat dari Ibu.
(Jika ada 12 teman, setiap teman akan mendapat 24/12 = 2 permen dan 36/12 = 3 cokelat).

Contoh Soal 12:
Pak Joni memiliki dua potong tali dengan panjang 40 cm dan 60 cm. Ia ingin memotong kedua tali tersebut menjadi beberapa bagian yang sama panjang dan sepanjang mungkin. Berapa ukuran terpanjang setiap potongan tali tersebut?

• Analisis: Soal ini menanyakan "ukuran terpanjang" dan "sama panjang". Ini adalah ciri khas soal FPB.
• Penyelesaian: Kita perlu mencari FPB dari 40 dan 60.
  • Faktorisasi prima 40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 2³ x 5
  • Faktorisasi prima 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
  • Faktor prima yang sama adalah 2 dan 5. (Angka 3 tidak ada di 40, jadi tidak diambil).
  • Ambil pangkat terkecil: 2² (dari 2³ dan 2²) dan 5¹ (dari 5¹ dan 5¹).
  • FPB = 2² x 5¹ = (2 x 2) x 5 = 4 x 5 = 20.

Jadi, ukuran terpanjang setiap potongan tali adalah 20 cm.

Kunci Sukses Belajar KPK dan FPB

1. Pahami Konsep Dasar: Pastikan kamu benar-benar mengerti apa itu kelipatan, faktor, dan bilangan prima.
2. Latihan, Latihan, Latihan: Semakin banyak kamu berlatih soal, semakin terbiasa dan cepat kamu dalam mengerjakannya.
3. Jangan Takut Salah: Kesalahan adalah bagian dari belajar. Jika salah, cari tahu di mana letak kesalahanmu dan perbaiki.
4. Gunakan Metode yang Kamu Pahami: Baik metode daftar maupun pohon faktor, pilih mana yang paling nyaman bagimu. Namun, biasakan diri dengan pohon faktor karena lebih efisien untuk angka besar.
5. **Perhatikan Kata